Question

已知定义域为R的二次函数f（x）的最小值为0，且有f（1+x）=f（1-x），直线g（x）=4（x-1）的图象被f（x）的图象截得的弦长为4

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，数列{a_n}满足a=2，（a_n+1-a_n）•g（a_n）+f（a_n）=0（n∈N^*）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=3f（a_n）-g（a_n），求数列的{b_n}的最值及相应的n．

Answer 1

考点：数列递推式,函数解析式的求解及常用方法,数列的函数特性,等差数列的通项公式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出函数解析式，利用直线g（x）=4（x-1）的图象被f（x）的图象截得的弦长为4

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，建立方程，即可得到结论；
（2）先根据f（x）和g（x）的解析式化简，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0），得（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0再用构造法求出数列{a_n}的通项公式．
（3）根据f（x）和g（x）的解析式及数列{a_n}的通项公式化简b_n，再用二次函数求极值的方法求出数列{b_n}的最值及相应的n．

解答： 解：（1）设f（x）=a（x-1）²（a＞0），则直线g（x）=4（x-1）与y=f（x）图象的两个交点为（1，0），（

4

a

+1，

16

a

）
∵

( 4 a )2+( 16 a )2

=4

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（a＞0）
∴a=1，f（x）=（x-1）²；
（2）∵（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0
∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0
∵a₁=2，∴a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0
∴a_n+1-1=

3

4

（a_n-1），a₁-1=1
∴数列{a_n-1}是首项为1，公比为

3

4

的等比数列
∴a_n-1=（

3

4

）^n-1，a_n=（

3

4

）^n-1+1；
（3）b_n=3f（a_n）-g（a_n）=3[（

3

4

）^n-1]²-4[（

3

4

）^n-1]，
令t=（

3

4

）^n-1，则y=3t²-4t=3(t-

2

3

)2-

4

3

∵n∈N^*，
∴t的值分别为1，

3

4

，

9

16

，经比较

3

4

比较接近

2

3

∴当n=2时，b_n有最小值是-

21

16

，当n=1时，b_n有最大值是0．

点评：本题以函数为载体，考查数列知识，考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．