Question

在平面直角坐标系中，已知点F（0，

1

4

），直线l：y=-

1

4

，P为平面内动点，过点P作直线l的垂线，垂足为M，且

MP

•

MF

=

FP

•

FM

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若曲线E与圆Q：x²+（y-4）²=r²（r＞0）有A、B、C、D四个交点，求四边形ABCD面积取到最大值时圆Q的方程．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,圆的标准方程,轨迹方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设点P（x，y），则 M（x，-

1

4

），又 F（0，

1

4

），求得 

MF

、

MP

、

FM

、

FP

 的坐标，再由

MP

•

MF

=

FP

•

FM

，可得y=x²，即为所求的动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）将抛物线E的方程代入圆Q的方程，整理得 y²-7y+16-r²=0，设此方程有两个不相等的正根y₁、y₂，求得r 的范围．可设出四个交点的坐标，可得S²=（7+2

16-r2

）（4r²-15）．设t=

16-r2

，可得 t∈（0，

7

2

），代入上式，并令f（t）=S²，利用导数求的故当且仅当t=

7

6

时，f（t）有最大值，即四边形ABCD的面积最大，求得此时r²=

527

36

，从而得到所求的圆的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设点P（x，y），则 M（x，-

1

4

），又 F（0，

1

4

），
则

MF

=（-x，

1

2

），

MP

=（0，y+

1

4

），

FM

=（x，-

1

2

），

FP

=（x，y-

1

4

），…（2分）
由

MP

•

MF

=

FP

•

FM

，可得y=x²，动点P的轨迹E的方程为y=x²．…（4分）
（Ⅱ）将抛物线E：y=x²代入圆Q：x²+（y-4）²=r²（r＞0）的方程，消去x²，
整理得 y²-7y+16-r²=0．…（1）
抛物线E：y=x²与圆Q：x²+（y-4）²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：
方程（1）有两个不相等的正根y₁、y₂，∴

49-4(16-r2)＞0 y1+y2=7＞0 y1•y2=16-r2＞0

．
解这个方程组得

15

2

＜r＜4，…（6分）
设四个交点的坐标分别为A（

y1

，y₁）、B（-

y1

，y₁）、C（-

y2

，y₂）、D（

y2

，y₂），
则S=|y₂-y₁|（

y1

+

y2

），
所以，S²=[(y1+y2)2-4y1•y2]•[y₁+y₂+2

y1•y2

]=（7+2

16-r2

）（4r²-15）．…（8分）
设t=

16-r2

，可得 t∈（0，

7

2

），代入上式，则 S²=（7+2t）²（7-2t），并令f（t）=S²，
f（t）=（7+2t）²（7-2t）=-8t³-28t²+98t+343，（0＜t＜

7

2

），
∴f′（t）=-24t²-56t+98=-2（2t+7）（6t-7），…（10分）
令f′（t）=0  得 t=

7

6

，或t=-

7

2

（舍去）
当0＜t＜

7

6

 时，f′（t）＞0；当t=

7

6

时，f′（t）=0；当

7

6

＜t＜

7

2

 时，f′（t）＜0，
故当且仅当t=

7

6

时，f（t）有最大值，即四边形ABCD的面积最大，此时r²=

527

36

，
圆的方程为x²+（y-4）²=

527

36

．…（12分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求圆的标准方程，求点的轨迹方程的方法，属于中档题．