Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q（q≠0），且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
（1）求{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）证明：

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件，然后解方程可求等比数列的公比q，等差数列的公差d，即可求解；
（2）利用裂项法求和，即可得到结论．

解答： （1）解：设{a_n}的公差为d，
∵b₂+S₂=12，q=

S2

b2

∴q+6+d=12，q=

6+d

q

解得q=3或q=-4（舍），d=3
故a_n=3n，b_n=3^n-1；
（2）证明：S_n=

n(3+3n)

2

，∴

1

Sn

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

)=

2

3

•(1-

1

n+1

)
∵

1

2

≤1-

1

n+1

＜1
∴

1

3

≤

2

3

•(1-

1

n+1

)＜

2

3

∴

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

3

．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项，考查裂项法求数列的和，考查数列与不等式的联系，属于中档题．