Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2，n∈N^*），a=

1

2

，判断{

1

Sn

}与{a_n}是否为等差数列，并说明你的理由．

Answer 1

考点：等差关系的确定,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：利用已知可得S_n≠0．利用满足：a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2，n∈N^*），可得S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，（*）．
（*）可化为

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，可得{

1

Sn

}是以

1

a1

=2为首项，2为公差的等差数列．进而得到Sn=

1

2n

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

即可判断出{a_n}不是等差数列．

解答： 解：∵满足：a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2，n∈N^*），∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，（*）
假设S_n=0，可得S_n-1=0，于是S_n=0对于任意正整数n都成立，而a1=

1

2

≠0，得出矛盾，故S_n≠0．
∴（*）可化为

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴{

1

Sn

}是以

1

a1

=2为首项，2为公差的等差数列．
∴

1

Sn

=2+2(n-1)=2n，得到Sn=

1

2n

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

不为等差数列．

点评：熟练掌握a_n与S_n的关系、等差数列的定义是解题的关键．