Question

12．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且$\frac{{S}_{6}}{{S}_{3}}$=28，a₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{{b}_{n}（{n}^{2}+n）}$，求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q（q不为1），运用等比数列的通项公式和求和公式，解方程组，可得首项、公比，即可得到所求通项公式；
（2）求得b_n=$\frac{3}{n（n+1）}$=3（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），运用数列的求和方法：分组求和及裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q（q不为1），
由$\frac{{S}_{6}}{{S}_{3}}$=28，a₃=9，
可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$•$\frac{1-q}{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}$=28，a₁q²=9，
解得a₁=1，q=3，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1=3^n-1；
（2）$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{{b}_{n}（{n}^{2}+n）}$，可得
b_n=$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}（{n}^{2}+n）}$=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n-1}（{n}^{2}+n）}$=$\frac{3}{n（n+1）}$=3（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
可得数列{a_n+b_n}的前n项和T_n=（1+3+3²+…+3^n-1）+3（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+3（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$+$\frac{3n}{n+1}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和及裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．