Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，长轴长为2$\sqrt{3}$，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若以AB为直径的圆恰过坐标原点O，证明：原点O到直线l的距离为定值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，由以AB为直径的圆经过坐标原点O，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即为x₁x₂+y₁y₂=0，化简整理，再由点到直线的距离公式，即可得到结论．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，长轴长为2$\sqrt{3}$，
可得a=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得c=$\sqrt{2}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3-2}$=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
证明：（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，
消y可得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0
∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
即有（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
∴（1+k²）•$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$-km•$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$+m²=0，
∴4m²=3（k²+1），
∴原点O到直线l的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即点O到直线AB的距离为定值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线与椭圆的综合，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．