Question

7．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线分别为l₁，l₂，直线l：y=-x+c过双曲线C的右焦点F（c，0），且分别与直线l₁，l₂交于A，B两点，若$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{AB}$，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． $\frac{\sqrt{10}}{3}$

Answer 1

分析 设出双曲线的渐近线方程，将A和B代入，求得A和B的横坐标，由$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{AB}$，$\frac{ac}{a-b}$-c=2丨$\frac{ac}{a+b}$-c丨，化简求得a和b的关系，由双曲线的离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+丨\frac{b}{a}{丨}^{2}}$，即可求得e．

解答 解：由题意，设双曲线C的渐近线方程l₁，l₂分别为：y=$\frac{b}{a}$x，y=-$\frac{b}{a}$x，点A（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
A和B分别满足$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+c}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+c}\\{y=-\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，
解得：x₁=$\frac{ac}{a+b}$，x₂=$\frac{ac}{a-b}$，
∵$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{ac}{a-b}$-c=2丨$\frac{ac}{a+b}$-c丨，
化简得：b=3a，
故e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+丨\frac{b}{a}{丨}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故答案选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的渐近线的方程的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．