Question

8．已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|+…+|x-n|（n∈N^*），f（x）的最小值记为a_n，其中a₁=0，a₂=1，则a_n=n-1．

Answer 1

分析 利用绝对值的几何意义，f（x）=|x-1|+|x-2|+…+|x-n|为数轴上点x到点1，2，…，n距离之和，利用条件归纳出结论．

解答 解：解：绝对值的几何意义，f（x）=|x-1|+|x-2|+…+|x-n|为数轴上点x到点1，2，3 …，n距离之和．
当n=1时，f（x）=|x-1|，则x=1时，f（x）取得最小值为a₁=0；
当n=2时，f（x）=|x-1|+|x-2|，则1≤x≤2时，f（x）取得最小值为a₂=1；
当n=3时，f（x）=|x-1|+|x-2|+|x-3|，则1≤x≤3时，f（x）的最小值为a₃=2，
…
故当1≤x≤n时，f（x）取得最小值记为a_n =n-1，
故答案为：n-1．

点评 本题考查函数的最值，绝对值的几何意义，数形结合的思想、及归纳推理的思维方法，属于中档题．