Question

2．设各项为正的数列{a_n}中lga_n+1lga_n+1=lg$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，若a₁=100，则a₁₁=$1{0}^{-\frac{1}{2}}$．

Answer 1

分析 由lga_n+1lga_n+1=lg$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=lga_n+1-lga_n，化为：lga_n+1=$\frac{1+lg{a}_{n}}{1-lg{a}_{n}}$，由a₁=100，代入可得：a_n+4=a_n，即可得出．

解答 解：∵lga_n+1lga_n+1=lg$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=lga_n+1-lga_n，化为：lga_n+1=$\frac{1+lg{a}_{n}}{1-lg{a}_{n}}$，
∵a₁=100，
∴lga₂=-3，
∴a₂=10^-3，
同理可得：a₃=$1{0}^{-\frac{1}{2}}$，a₄=$1{0}^{\frac{1}{3}}$，a₅=10²，
∴a_n+4=a_n，
∴a₁₁=a₃=$1{0}^{-\frac{1}{2}}$．
故答案为：$1{0}^{-\frac{1}{2}}$．

点评 本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．