Question

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BED夹角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得DE⊥AC，AC⊥BD，由此能证明AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）以D为原点建立空间直角直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出平面BEF与平面BED夹角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC，（2分）
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
又DE∩BD=D，所以AC⊥平面BDE．（4分）
（Ⅱ）解：因为DA，DC，DE两两垂直，
所以以D为原点建立空间直角直角坐标系D-xyz，
因为BE与平面ABCD所成角为60°，
即∠BDE=60°，（6分）所以

ED

DB

=

3

．
由AD=3可知DE=3

6

，AF=

6

则A（3，0，0），F（3，0，

6

），E（0，0，3

6

），
B（3，3，0），C（0，3，0），
所以

BF

=(0，-3，

6

)，

EF

=(3，0，-2

6

)
设平面BEF的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • BF =0 n • EF =0

，即

-3y+ 6 z=0 3x-2 6 z=0

，
令z=

6

，则

n

=(4，2，

6

)
因为AC⊥平面BDE，所以

CA

为平面BDE的法向量，

CA

=(3，-3，0)，
所以cos＜

n

，

CA

＞=

n • CA

| n || CA |

=

6

3 2 × 26

=

13

13

．
所以平面BEF与平面BED夹角的余弦为

13

13

．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．