Question

已知定义在R上的凼数y=f（x）满足f（x+A+B）=f（x），其中A，B分别是函数g（x）=

|x|+sinx+1

|x|+1

的最大值和最小值，若当0≤x≤1时，f（x）=（

1

2

）^x，则f（2015）=（　　）

• A、1
• B、0
• C、-

  1

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令f（x）=g（x）-1=

sinx

1+|x|

，判断f（x）为奇函数，可得A+B=2，再由周期函数的定义，可得f（x）为最小正周期为2的函数，则f（2015）=f（1），由已知解析式，计算即可得到．

解答： 解：g（x）=

|x|+sinx+1

|x|+1

=1+

sinx

1+|x|

，
令f（x）=g（x）-1=

sinx

1+|x|

，
f（-x）=-

sinx

1+|x|

=-f（x），
则有f（x）为奇函数，
设f（x）的最大值为m，则最小值为-m，
则A=m+1，B=-m+1，
即有A+B=2，
则f（x+2）=f（x），
则f（x）为最小正周期为2的函数，
即有f（2015）=f（2×1007+1）=f（1），
当0≤x≤1时，f（x）=（

1

2

）^x，
则f（1）=

1

2

．
即f（2015）=

1

2

．
故选D．

点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求最值，考查函数的周期性的运用：求函数值，考查运算能力，属于中档题和易错题．