Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB，垂足为F．
（1）求证PA∥平面EBD；
（2）求二面角P-AD-F的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结AC、BD交于O，连结OE，由已知得EO∥PA，由此能证明PA∥面EBD．
（Ⅱ）由已知PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD，PD⊥CD，以DA，DC，DP所在直线为坐标轴，D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AD-F的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ） 如图，连结AC、BD交于O，连结OE．
由ABCD是正方形，易得O为AC的中点，从而OE为△PAC的中位线，
∴EO∥PA．
∵EO?面EBD，PA?面EBD，
∴PA∥面EBD．…（4分）
（Ⅱ）由已知PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD，PD⊥CD．
如图，以DA，DC，DP所在直线为坐标轴，D为原点建立空间直角坐标系．
设AD=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），P（0，0，2），
E（0，1，1），B（2，2，0），

PB

=（2，2，-2），

DA

=（2，0，0）．…（6分）
设F（x₀，y₀，z₀），

PF

=λ

PB

，则由

PF

=（x₀，y₀，z₀-2），
得（x₀，y₀，z₀-2）=λ（2，2，-2），
即得

x0=2λ y0=2λ z0=2-2λ

，于是F（2λ，2λ，2-2λ）．
∴

EF

=（2λ，2λ-1，1-2λ）．
又EF⊥PB，∴2λ•2+（2λ-1）•2+（1-2λ）•（-2）=0，解得λ=

1

3

．
∴F（

2

3

，

2

3

，

4

3

），

DF

=（

2

3

，

2

3

，

4

3

）． …（8分）
设平面DAF的法向量是

n

=（x，y，z），
则

DA • n =2x=0 DF • n =x+y+2z=0

，令z=1，得

n

=（0，-2，1）．
又平面PAD的一个法向量为

m

=（0，1，0），…（10分）
设二面角P-AD-F的平面角为θ，
则cosθ=|

n • m

| n |•| m |

|=

2 5

5

，
即二面角P-AD-F的余弦值为

2 5

5

．  …（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．