Question

已知f（x）=a-

1

2x+1

（a∈R）
（1）判断f（x）在定义域上的单调性并用单调性的定义证明之；
（2）若函数的定义域为[2，4]，求函数的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出函数f（x）的定义域，利用函数的单调性定义证明f（x）在定义域内是增函数；
（2）关键函数f（x）是定义域上的增函数，求出f（x）在区间[2，4]上的最值即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=a-

1

2x+1

的定义域为（-∞，+∞），
∴设x₁＜x₂，则：
f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

2x1+1

）-（a-

1

2x2+1

）
=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
又∵x₁＜x₂，得2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在定义域（-∞，+∞）内是增函数；
（2）由（1）知，函数f（x）是定义域（-∞，+∞）上的增函数，
∴函数f（x）在区间[2，4]上的最大值为f（4）=a-

1

24+1

=a-

1

17

，
最小值为f（2）=a-

1

22+1

=a-

1

5

．

点评：本题考查了用定义判断函数的单调性以及利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值问题，是基础题目