Question

已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2．
（1）若x∈R，求函数的最大值和最小值；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函数的最大值和最小值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,复合三角函数的单调性

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：注意sinx+cosx与sinx•cosx之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解．

解答： 解：（1）令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，
则2sinxcosx=t²-1，
则y=t²+t+1=（t+

1

2

）²+

3

4

，t∈[-

2

，

2

]，
故函数的图象是抛物线，顶点在（-

1

2

，

3

4

），在[-

2

，-

1

2

]是单调递减的，在[-

1

2

，

2

]是单调递增的．
可得当t=

2

时，其最大值y_max=（

2

+

1

2

）²+

3

4

=3+

2

，当t=-

1

2

时，最小值y_min=

3

4

．
（2）当x∈[0，

π

2

]时，则t∈[1，

2

]，
同理可得：此时y的最大值是3+

2

，而最小值是3．

点评：本题主要考查了两角和公式的化简求值，二次函数的性质．此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围，属于中档题．