Question

18．已知a＞1，b＞0，且a+2b=2，则$\frac{2}{a-1}+\frac{a}{b}$的最小值为4（$\sqrt{2}$+1）．

Answer 1

分析 求出a-1=1-2b，设$\frac{2}{1-2b}$+$\frac{2-2b}{b}$=t，得到（4+2t）b²-（4+t）b+2=0，通过讨论①4+2t=0，②4+2t≠0的情况，求出t的最小值即$\frac{2}{a-1}+\frac{a}{b}$的最小值即可．

解答 解：∵a+2b=2，∴a-1=1-2b，
∴$\frac{2}{a-1}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{2}{1-2b}$+$\frac{2-2b}{b}$，
设$\frac{2}{1-2b}$+$\frac{2-2b}{b}$=t，
则2b+（2-2b）（1-2b）=tb（1-2b），
故（4+2t）b²-（4+t）b+2=0，
①4+2t=0时，t=-2，
故（4-2）b+2=0，解得：b=1，
a+2b=2，得a+2=2，故a=0，与a=1不符，
故4+2t≠0；
②4+2t≠0时，得t≠-2，
由（4+2t）b²-（4+t）b+2=0，
由△≥0，得（4+t）²-4（4+2t）-2≥0，
故t²-8t-16≥0，解得：t≤4-4$\sqrt{2}$（舍）或t≥4+4$\sqrt{2}$，
故$\frac{2}{a-1}+\frac{a}{b}$的最小值为4（1+$\sqrt{2}$），
故答案为：4（1+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，本题是一道中档题．