Question

2．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．  
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）求点A到平面BDE的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出AE⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面ADE，再由AB∥CD，能证明AB⊥平面ADE．
（2）由AB⊥平面ADE，能求出三棱锥B-ADE的体积．再由V_A-BDE=V_B-ADE，能求出点A到平面BDE的距离．

解答 解：（1）证明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，
又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，
又在正方形ABCD中，AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．…（6分）
（2）由于（1）得AB⊥AE，∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}=\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，$DE=\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}=\sqrt{3}$，
得DE²+BE²=BD²，∴△BDE是直角△．
V_B-ADE=V_A-BDE 即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×DE×AE×AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×DE×BE×d$，得d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．