Question

12．已知函数f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²在定义域内有极值，则实数a的取值范围是（-∞，1）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为y=lnx+1和y=ax有交点，通过讨论a的范围，求出满足条件的a的具体范围即可．

解答 解：f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²的定义域是（0，+∞），
f′（x）=lnx-ax+1，
若函数f（x）有极值，则f′（x）=lnx-ax+1有解，
即y=lnx+1和y=ax有交点，
①a＜0时，显然有解，
②a＞0时，设y=lnx+1和y=ax相切的切点是（x₀，lnx₀+1），
∴切线方程是：y=$\frac{1}{{x}_{0}}$x，故lnx₀+1=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x₀，
解得：x₀=1，
∴y=lnx+1和y=ax相切时，a=1，
若y=lnx和y=ax有交点，只需a＜1，
综上：a＜1，
故答案为：（-∞，1）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．