题目内容
3．设函数f（x）=x2-2ex-$\frac{lnx}{x}$+a（其中e为自然对数的底数，若函数f（x）至少存在一个零点，则实数a的取值范围是（ ）| A． | $（{0，{e^2}-\frac{1}{e}}]$ | B． | $（{0，{e^2}+\frac{1}{e}}]$ | C． | $[{{e^2}-\frac{1}{e}，+∞}）$ | D． | $（{-∞，{e^2}+\frac{1}{e}}]$ |
分析 令f（x）=0，求出a=-x2+2ex+$\frac{lnx}{x}$，构造函数h（x）=-x2+2ex+$\frac{lnx}{x}$，判断函数的单调性，根据函数单调性求出函数的最值．
解答 解：令f（x）=x2-2ex-$\frac{lnx}{x}$+a=0，
则a=-x2+2ex+$\frac{lnx}{x}（{x＞0}）$，
设h（x）=-x2+2ex+$\frac{lnx}{x}$，
令h1（x）=-x2+2ex，h2（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴h2′（x）=$\frac{1-lnx}{x^2}$，发现函数h1（x），h2（x）在（0，e）上都是单调递增，在[e，+∞）上都是单调递减，
∴函数h（x）=-x2+2ex+$\frac{lnx}{x}$在（0，e）上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，
故当x=e时，得h（x）min=e2+$\frac{1}{e}$，
∴函数f（x）至少存在一个零点需满足a≤h（x）max，
即a≤e2+$\frac{1}{e}$．
故选：D．
点评 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{5}{6}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
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| A． | 函数f（x）的最小正周期为2π | |
| B． | 函数f（x）在区间$[\frac{3π}{4}，π]$上单调递增 | |
| C． | 函数f（x）的图象关于直线$x=-\frac{7π}{12}$对称 | |
| D． | 函数f（x）的图象关于点$（\frac{7π}{12}，0）$对称 |