Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为${S_n}，n∈{N^*}$，且${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}$，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若${b_n}=\frac{2n}{{{a_{n+2}}-{a_{n+1}}}}$，设数列{b_n}的前n项和为${T_n}，n∈{N^*}$，证明${T_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出．
（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）当n=1时${a_1}=\frac{3}{2}{a_1}-\frac{1}{2}$，得a₁=1，
当n≥2时，${S_n}-{S_{n-1}}={a_n}=\frac{3}{2}（{{a_n}-{a_{n-1}}}）$得a_n=3a_n-1，
所以${a_n}={3^{n+1}}$，
（2）由（1）得：${b_n}=\frac{2n}{{{a_{n+2}}-{a_{n+1}}}}=\frac{n}{3^n}$，
又${T_n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+…+\frac{n}{3^n}$①
得$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+…+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$②
两式相减得：$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，
故$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{{\frac{1}{3}（{1-\frac{1}{3^n}}）}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，
所以T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$$＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考査了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．