Question

已知函数f（x）=ax²+bx+b-1．
（1）若b=1，求f（x）的零点；
（2）若a≠0，对任意的实数b，函数f（x）恒有相宜的两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）转化为ax²+x=0，分类讨论，当a=0时，f（x）的零点为：0，当a≠0时，f（x）的零点为：0，-

1

a

，
（2）转化为：ax²+bx+b-1=0，有2个不等根，即△₁=b²-4a（b-1）＞0，对任意的实数b恒成立，再运用二次函数性质求解即可．

解答： 解：函数f（x）=ax²+bx+b-1．
（1）若b=1，f（x）=ax²+x，
ax²+x=0，
当a=0时，f（x）的零点为：0，
当a≠0时，f（x）的零点为：0，-

1

a

，
（2）∵a≠0，对任意的实数b，函数f（x）恒有相异的两个零点，
∴ax²+bx+b-1=0，有2个不等根，
即△₁=b²-4a（b-1）＞0，对任意的实数b恒成立，
b²-4ab+4a＞0，对任意的实数b恒成立，
△₂=16a²-16a＜0，0＜a＜1
故实数a的取值范围为：（0，1）

点评：本题综合考察了函数的性质，函数的零点，不等式恒成立问题，综合性较强，属于中等题．