Question

在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0））中，F₁，F₂分别为其左右两焦点，P为椭圆上一点，向量

PF1

•

PF2

=c²，则离心率e的范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（x，y），由已知得x²+y²=2c²，x2=

2a2c2-a2b2

c2

，由此能求出离心率的取值范围．

解答： 解：设P（x，y），∵F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴

PF1

•

PF2

=（-c-x，y）•（c-x，y）=x²-c²+y²=c²，
∴x²+y²=2c²，
又

x2

a2

+

y2

b2

=1，∴y2=

b2

a2

(a2-x2)，
∴x2+

b2

a2

(a2-x2)=2c2，
整理，得x2=

2a2c2-a2b2

c2

，
∵0≤x²≤a²，
∴0≤

2a2c2-a2b2

c2

≤a2，
∴

2c2-b2≥0 2c2-b2≤c2

，
解得

3

3

≤e≤

2

2

，
∴离心率的取值范围为[

3

3

，

2

2

]．
故答案为：[

3

3

，

2

2

]．

点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．