题目内容
已知f（x）=ax-a-x（a＞1）
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并加以证明
（2）讨论函数f（x）的单调性，并加以证明．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并加以证明
（2）讨论函数f（x）的单调性，并加以证明．
考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：（1）函数f（x）为奇函数．然后运用定义，注意验证定义域是否关于原点对称，
再计算f（-x）是否等于±f（x）；
（2）先判断函数的单调性．再运用定义，注意几个步骤，即可得证．
再计算f（-x）是否等于±f（x）；
（2）先判断函数的单调性．再运用定义，注意几个步骤，即可得证．
解答：
解：（1）函数f（x）为奇函数．
理由如下：f（x）的定义域为R，关于原点对称，
f（-x）=a-x-ax=-（ax-a-x）=-f（x），
则f（x）为奇函数；
（2）函数f（x）在R上是增函数．
理由如下：设m＜n，
则f（m）-f（n）=（am-a-m）-（an-a-n）
=（am-an）+（a-n-a-m）
=（am-an）+
=（am-an）（1+
），
由于a＞1，m＜n，则am＜an，am+n＞0，
则有（am-an）（1+
）＜0，
即有f（m）＜f（n），
故函数f（x）在R上是增函数．
理由如下：f（x）的定义域为R，关于原点对称，
f（-x）=a-x-ax=-（ax-a-x）=-f（x），
则f（x）为奇函数；
（2）函数f（x）在R上是增函数．
理由如下：设m＜n，
则f（m）-f（n）=（am-a-m）-（an-a-n）
=（am-an）+（a-n-a-m）
=（am-an）+
| am-an |
| am+n |
=（am-an）（1+
| 1 |
| am+n |
由于a＞1，m＜n，则am＜an，am+n＞0，
则有（am-an）（1+
| 1 |
| am+n |
即有f（m）＜f（n），
故函数f（x）在R上是增函数．
点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及判断，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题．
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