Question

设函数f（x）=cos²x-

3

2

sin2x，若α∈（

π

4

，

π

2

）且满足f（α）=

1

2

-

3

2

，求tan2α的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,二倍角的正切

专题：三角函数的求值

分析：利用二倍角的余弦与三角恒等变换可得f（x）=cos（2x+

π

3

）+

1

2

，依题意，可得cos（2α+

π

3

）=-

3

2

，2α+

π

3

∈（

5π

6

，

4π

3

），于是可求得2α=

5π

6

，从而可得答案．

解答： 解：∵f（x）=cos²x-

3

2

sin2x=

1+cos2x

2

-

3

2

sin2x=cos（2x+

π

3

）+

1

2

，
∴f（α）=cos（2α+

π

3

）+

1

2

=

1

2

-

3

2

，
∴cos（2α+

π

3

）=-

3

2

，
又α∈（

π

4

，

π

2

），2α+

π

3

∈（

5π

6

，

4π

3

），
∴2α+

π

3

=

7π

6

，
∴2α=

5π

6

，
∴tan2α=-

3

3

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦函数的图象与性质，求得cos（2α+

π

3

）=-

3

2

与2α+

π

3

∈（

5π

6

，

4π

3

）是关键，属于中档题．