Question

当a为何值时，直线y=x与对数函数y=log_ax的图象相切，求切点坐标及切点处的法线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：设出切点，求出函数的导数，求出切线的斜率，列出方程组，解得即可得到切点，再由法线的斜率为-1，由点斜式方程，即可得到所求方程．

解答： 解：y=log_ax的导数为y′=

1

xlna

，
由于直线y=x与对数函数y=log_ax的图象相切，
设切点坐标为（m，n），
则

1

mlna

=1，m=n，n=log_am，
解得，m=e，n=e，a=e

1

e

，
即当a=e

1

e

，直线y=x与对数函数y=log_ax的图象相切；
切点坐标为（e，e），
切点处的法线方程为：y-e=-（x-e），即有x+y-2e=0．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查直线方程的求法，法线的概念，考查运算能力，属于基础题．