Question

设0＜m＜

1

2

，若

1

m

+

8

1-2m

≥k恒成立，则实数k的最大值是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．

解答： 解：令f（m）=

1

m

+

8

1-2m

，0＜m＜

1

2

，
f′（m）=-

1

m2

+

16

(1-2m)2

=

-(6m-1)(2m+1)

m2(2m-1)2

，
令f′（m）=0，解得m=

1

6

．
令f′（m）＞0，解得0＜m＜

1

6

，此时函数f（m）单调递增；令f′（m）＜0，解得

1

6

＜m＜

1

2

，此时函数f（m）单调递减．
∴当m=

1

6

时，函数f（m）取得极大值即最大值18．
故答案为：18．

点评：本题考查了导数研究函数的单调性极值最值，属于基础题．