Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且 f（x）在（0，+∞）单调递增，若f（1）=0，则不等式f（x+1）．f（x）＜0的解集是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题可以先对函数f（x）的性质进行研究，再将所求不等式转化为不等式组，解不等式组，得到本题结论．

解答： 解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数y=f（x）的图象关于原点对称．
∵f（1）=0，
∴f（-1）=-f（1）=0，
∴函数y=f（x）的图象过点（1，0），（-1，0）．
∵f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴f（x）在（-∞，0）单调递增．
∵不等式f（x+1）．f（x）＜0，
∴

f(x+1)＞0 f(x)＜0

或

f(x+1)＜0 f(x)＞0

，
∴

-1＜x+1＜0或x+1＞1 x＜-1或0＜x＜1

或

x+1＜-1或0＜x+1＜1 -1＜x＜0或x＞1

，
∴-2＜x＜-1或0＜x＜1或-1＜x＜0，
∴x∈（-2，-1）∪（-1，0）∪（0，1）．
故答案为：（-2，-1）∪（-1，0）∪（0，1）．

点评：本题考查了函数的性质与图象的关系，还考查了不等式的解法，本题难度不大，属于基础题．