Question

（理科）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F₁（2，0），离心率为e．
①若e=

2

2

，求椭圆的方程；
②设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，AF₁的中点为M，BF₁的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，设直线AB斜率为k，若k≥

3

，求e的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：本题①已知椭圆的焦点，得到参数c的值，再利用椭圆的离心率，得到参数a，b，c的关系，求出a、b的值，得椭圆的方程；②通过几何法得到F1C=CO=

1

2

c，可以求出c的值，由方程组

x2 a2 + y2 a2-4 =1 x2+y2=4

，可得到A点坐标，从而求出OA的斜率，由直线AB斜率为k≥

3

，求出a的取值范围，从而求出e的取值范围，得到本题结论．

解答： 解：①∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F₁（2，0），离心率为e=

2

2

，
∴

c=2 c a = 2 2 b2=a2-c2

，
∴

a=2 2 b=2 c=2

．
∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
②记线段MN与x轴交点为C．
AF₁的中点为M，BF₁的中点为N，
∴MN∥AB，F1C=CO=

1

2

c．
∵A、B为椭圆上关于原点对称的两点，
∴CM=CN．
∵原点O在以线段MN为直径的圆上，
∴CO=CM=CN=

1

2

c．
∴OA=OB=c=2．
∵OA＞b，
∴a²=b²+c²＜2c²，
∴e=

c

a

＞

2

2

．
设A（x，y），
由

x2 a2 + y2 a2-4 =1 x2+y2=4

，
得

x2= 8a2-a4 4 y2= 16-8a2+a4 4

．
∵直线AB斜率为k≥

3

，
∴16-8a²+a⁴≥24a²-3a⁴，
∴a2≥4+2

3

，
a≥

3

+1．
∴e=

c

a

≤

3

-1．
∴离心率e的取值范围为（

2

2

，

3

-1）．

点评：本题考查了函数方程思想，主要上将题中的几何条件代数化，得到相应的等式、不等式、方程，再加以研究．本题有一定的难度，属于中档题．