Question

17．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f（x+2）=f（2-x）+4f（2），若函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称，且f（1）=3，则f（2015）=-3．

Answer 1

分析 由函数f（x+1）的图象关于（-1，0）对称且由y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象可知函数y=f（x）的图象关于原点对称即函数y=f（x）为奇函数，在已知条件中令x=-1可求f（1）及函数的周期，利用所求周期即可求解．

解答 解：∵函数f（x+1）的图象关于（-1，0）对称且把y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象，
∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，f（1）=3，
∵f（x+2）=f（2-x）+4f（2）=-f（x-2）+4f（2），
∴f（x+4）=-f（x）+4f（2），
f（x+8）=-f（x+4）+4f（2）=f（x），
函数的周期为8，
f（2015）=f（252×8-1）=f（-1）=-f（1）=-3．
故答案为：-3．

点评 本题考查了抽象函数的奇偶性对称性、图象变换、求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．