题目内容
14．给出下列命题：①已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件；
②“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件；
③“函数f（x）=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的充要条件；
④“平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”的充要条件的“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0”．
其中正确命题的序号是①②．（把所有正确命题的序号都写上）
分析 求出A⊆B时对应a的值，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断①，根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断②，利用充分、必要条件的概念与二倍角的余弦及余弦函数的周期性可判断③，当“平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”时，“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0”，反之不成立，由于向量反向共线时，“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0”可判断④．
解答 解：对于①，当a=3时，A={1，a}={1，3}，满足A⊆B，若A⊆B，则a=2或3，
∴“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故①正确；
对于②，∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴-1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件，故②正确；
对于③，函数f（x）=cos2ax-sin2ax=cos2ax的最小正周期为π，
则$\frac{2π}{|2a|}$=π，|a|=1，解得：a=±1，故充分性不成立；
反之，若a=1，则f（x）=cos2x-sin2x=cos2x的最小正周期为π，必要性成立；
故函数f（x）=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π是“a=1”的必要不充分条件，故③错误；
对于④，当“平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角”时，“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0”，
反之不成立，由于向量反向共线时，“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0”，故④错误．
∴正确命题的序号是：①②．
故答案为：①②．
点评 本题主要考查命题的真假判断与应用，充分条件和必要条件的应用，考查集合关系的判定以及不等式的性质，考查三角函数的周期性以及向量的数量积及其夹角公式，考查了推理能力，属于中档题．
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $2\sqrt{2}$ |