Question

12．已知函数f（x）为偶函数且满足：f（x）=f（4-x），当x∈[0，2]时，f（x）=x-1，则不等式xf（x）＞0在[-1，3]上的解集为（　　）

• A． （1，3）
• B． （-1，1）
• C． （-1，0）∪（1，3）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 根据函数的周期性和奇偶性，求出当x∈[-1，3]上的解析式，结合图象将不等式转化为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：若x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，
∵当x∈[0，2]时，f（x）=x-1，
∴f（-x）=-x-1，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=-x-1=f（x），
即当x∈[-2，0]时，f（x）=-x-1，
即在一个周期[-2，2]内，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，0≤x≤2}\\{-x-1，-2≤x＜0}\end{array}\right.$，
若x∈[2，4]，则x-4∈[-2，0]，
即f（x）=f（x-4）=-（x-4）-1=-x+3，x∈[2，4]，
作出函数f（x）在[-2，4]上的图象如图：
则当x∈[-1，3]时，不等式xf（x）＞0
等价为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
即1＜x＜3或-1＜x＜0，
即（-1，0）∪（1，3），
故选：C．

点评 本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数的奇偶性和周期性求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．