Question

20．.已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx，f′（-1）=-4，f′（1）=0
（1）求a，b的值；
（2）试确定函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（-1）=-4，f′（1）=0，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²+2ax+b，
由f′（-1）=-4，f′（1）=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{1-2a+b=-4}\\{1+2a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$；
（2）由（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x，
f′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
故f（x）在（-∞，-3）递增，在（-3，1）递减，在（1，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题．