Question

15．如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，且PA=3，E为PD中点，F在棱PA上，且AF=1．
（1）求证：CE∥平面BDF；
（2）求点P到平面BDF的距离．

Answer 1

分析 （1）取PF中点G，连接AC交BD于O点，连接FO，GC，EG证明GE∥FD，FO∥GC，然后证明面EGC∥平面BDF，推出CE∥平面BDF．
（2）由题意知点P到平面BDF的距离等于A到平面BDF的距离的两倍，记A到平面BDF的距离为h，则在四面体FABD中，利用等体积法求解P到平面BDF的距离．

解答 （本题满分12分）
解：（1）证明：取PF中点G，连接AC交BD于O点，
连接FO，GC，EG
由题意易知G为PF中点，又E为PD中点，所以GE∥FD，
故$\left\{\begin{array}{l}GE∥FD\\ GE?面BDF\\ FD?面BDF\end{array}\right.⇒GE∥面BDF$
FO为三角形AGC的中位线，所以FO∥GC，$\left\{\begin{array}{l}GC∥FO\\ GC?面BDF\\ FO?面BDF\end{array}\right.⇒GC∥面BDF$，
所以面EGC∥平面BDF，EC?EGC，∴CE∥平面BDF…（6分）
（2）由题意知点P到平面BDF的距离等于A到平面BDF的距离的两倍，
记A到平面BDF的距离为h，则在四面体FABD中，易求得${S_{△BDF}}=\frac{{3\sqrt{39}}}{4}$，
由体积自等得${V_{A-BDF}}={V_{D-ABF}}⇒\frac{1}{3}•\frac{{3\sqrt{39}}}{4}•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•3•1•\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴$h=\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，∴P到平面BDF的距离等于$2h=\frac{{6\sqrt{13}}}{13}$…（12分）
（向量做法相应给分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．