Question

3．在三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB，CD的中点，若AD=BC=2，AD与BC所成的角为θ，EF=$\sqrt{3}$，则sinθ=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 取BD的中点G，连结EG、FG，则EG∥AD，FG∥BC，从而∠EGF是θ（或θ的补角），由此利用余弦定理能求出sinθ．

解答 解：如图，取BD的中点G，连结EG、FG，
∵E、F分别是AB，CD的中点，
∴EG∥AD，FG∥BC，
∵AD=BC=2，AD与BC所成的角为θ，EF=$\sqrt{3}$，
∴∠EGF是θ（或θ的补角），
∴在△EFG中，EG=FG=1，EF=$\sqrt{3}$，
∴cos∠EGF=$\frac{E{G}^{2}+F{G}^{2}-E{F}^{2}}{2EG•FG}$=$\frac{1+1-3}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的正弦值、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题．