Question

11．设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=3，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为θ，则$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|cosθ}$+$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|cosθ}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=3得出${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=9①，根据|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1得出${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=1②；由①②组成方程组，求出$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$和${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$的值，再求$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|cosθ}$+$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|cosθ}$的值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=3，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=9①；
又∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=1②；
由①②组成方程组，解得：
$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=2，${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=5；
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|cosθ}$+$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|cosθ}$=$\frac{{|\overrightarrow{a}|}^{2}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|×cosθ}$+$\frac{{|\overrightarrow{b}|}^{2}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|×cosθ}$
=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\frac{5}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，属于基础题．