Question

8．如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC和AD的中点，则直线AE和CF所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 连接BF、EF，推导出AD⊥面BCF，AE在平面BCF上的射影为EF，设异面直线AE和CF所成的角为θ，则cosθ=cos∠AEF•cos∠EFC，由此能求出结果．

解答 解：连接BF、EF，
∵正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC和AD的中点，
∴BF⊥AD，CF⊥AD，
又BF∩CF=F，∴AD⊥面BCF，
∴AE在平面BCF上的射影为EF，
设异面直线AE和CF所成的角为θ，正四面体棱长为1，
则$AE=CF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$EF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∵cosθ=cos∠AEF•cos∠EFC，
∴cosθ=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}×\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$．
故直线AE和CF所成的角的余弦值为$\frac{2}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正四面体、线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题．