题目内容
13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），圆M：（x-a）2+y2=c2，双曲线以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则椭圆C的离心率为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
分析 由题意可知：双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），渐近线方程为y=±$\frac{b}{c}$x，圆心为（a，0），半径为c，即d=$\frac{丨ab丨}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=b，即b=c，a=$\sqrt{2}$c，椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
解答 解：由题意可知：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，a2=b2+c2，
双曲线以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，
双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），渐近线方程为y=±$\frac{b}{c}$x，
圆M：（x-a）2+y2=c2，圆心为（a，0），半径为c，
双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则圆心到渐近线的距离d=c，
即d=$\frac{丨ab丨}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=b，即b=c，a=$\sqrt{2}$c，
椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选A．
点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，属于中档题．
练习册系列答案
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| 不合格 | 合格 | 良好 | 优秀 | ||
| 体 能 测 试 | 不合格 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 合格 | 0 | 2 | 1 | b | |
| 良好 | 1 | a | 2 | 4 | |
| 优秀 | 1 | 2 | 3 | 6 | |
（Ⅰ）试确定a、b的值；
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