Question

2．若y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示．
（ I）求函数y=f（x）的解析式；
（ II）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象；若y=g（x）图象的一个对称中心为$（\frac{5π}{6}，0）$，求θ的最小值．

Answer 1

分析 （I）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（II）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得θ的最小值．

解答 解：（I）根据y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象知，
周期$T=\frac{11π}{12}-（-\frac{π}{12}）=π$，∴ω=2，且A=2．
再根据五点法作图可得ω•（-$\frac{π}{12}$）+φ=0，求得φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
把x=0，y=1代入上式求得 $sinφ=\frac{1}{2}$．
（II）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=$g（x）=2sin[2（x+θ）+\frac{π}{6}]=2sin（2x+2θ+\frac{π}{6}）$的图象，
若y=g（x）图象的一个对称中心为$（\frac{5π}{6}，0）$，则2•$\frac{5π}{6}$+2θ+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，即θ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{11π}{12}$，
故要求θ的最小值为$\frac{π}{12}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．