Question

18．我市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三某班共有30名学生，下表为该班学生的这两项成绩，例如表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成

		实验操作
		不合格	合格	良好	优秀
体 能 测 试	不合格	0	0	1	1
	合格	0	2	1	b
	良好	1	a	2	4
	优秀	1	2	3	6

绩合格或合格以上的概率是$\frac{1}{5}$．
（Ⅰ）试确定a、b的值；
（Ⅱ）从30人中任意抽取3人，设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表格数据可知，实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上的学生共有（4+a）人，记“实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上”为事件A，则P（A）=$\frac{4+a}{30}=\frac{1}{5}$，由此能求出a，b的值．
（Ⅱ）从30人中任意抽取3人，其中恰有k人实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的概率为P（ξ=k）=$\frac{{C}_{15}^{k}{C}_{15}^{3-k}}{{C}_{30}^{3}}$，（k=0，1，2，3），ξ的可能取值为0，1，2，3，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

解答 解：（Ⅰ）由表格数据可知，实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上的学生共有（4+a）人，
记“实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上”为事件A，
则P（A）=$\frac{4+a}{30}=\frac{1}{5}$，解得a=2，所以b=30-24-a=4．
∴a的值为2，b的值为4．  …（4分）
（Ⅱ）由于从30位学生中任意抽取3位的结果数为${C}_{30}^{3}$，
其中实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为15人，
从30人中任意抽取3人，其中恰有k个实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的结果数为${C}_{13}^{k}{C}_{15}^{3-k}$，
所以从30人中任意抽取3人，其中恰有k人实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的概率为P（ξ=k）=$\frac{{C}_{15}^{k}{C}_{15}^{3-k}}{{C}_{30}^{3}}$，（k=0，1，2，3），
ξ的可能取值为0，1，2，3，
则P（ξ=0）=$\frac{{C}_{15}^{0}{C}_{15}^{3}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{13}{116}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{15}^{1}{C}_{15}^{2}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{45}{116}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{15}^{2}{C}_{15}^{1}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{45}{116}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{15}^{3}{C}_{15}^{0}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{13}{116}$，…（8分）
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{13}{116}$	$\frac{45}{116}$	$\frac{45}{116}$	$\frac{13}{116}$

Eξ=$0×\frac{13}{116}+1×\frac{45}{116}+2×\frac{45}{116}+3×\frac{13}{116}$=$\frac{3}{2}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．