Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E分别为AA1，BC的中点．

（1）证明：AE//平面BDC1；

（2）若异面直线BC1与AC所成角的余弦值为．求DE与平面BDC1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）先证明四边形ADFE为平行四边形，则AE∥DF，由此即可得证；

（2）以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AA1＝2t（t＞0），根据已知条件可求得，进而求得平面BDC1的法向量以及直线DE的方向向量，再利用向量公式求解．

（1）证明：取BC1的中点F，连接DF，EF，

∵E为BC中点，

∴∥，

又∵D为AA1的中点，

∥，，

∴∥，

∴四边形ADFE为平行四边形，

∴AE∥DF，

∵AE平面BDC1，DF平面BDC1，

∴AE∥平面BDC1；

（2）由（1）及题设可知，BC，EA，EF两两互相垂直，则以点E为坐标原点，EC，EA，

EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设AA1＝2t（t＞0），则，

所以，

故

解得，

设平面BDC1的法向量为

由，得，

令，则，

又，

所以，

设DE与平面BDC1所成角为，

则，

∴DE与平面BDC1所成角的正弦值为.