Question

设关于x的不等式x（x-a-1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式x²-2x-3≤0的解集为N．
（1）当a=1时，求集合M；
（2）若M⊆N，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把a=1代入x（x-a-1）＜0，直接求解一元二次不等式得集合M；
（2）求解一元二次不等式化简集合N，然后分a＜-1、a=-1、a＞-1求解集合M，再由M⊆N结合集合端点值间的关系列不等式求解实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，由x（x-a-1）＜0，
得x（x-2）＜0．解得0＜x＜2．
∴M={x|0＜x＜2}；
（2）解不等式x²-2x-3≤0，得：
N={x|-1≤x≤3}．
①当a＜-1时，
∵a+1＜0，
∴M={x|a+1＜x＜0}．
∵M⊆N，
∴-1≤a+1＜0，解得-2≤a＜-1．
②当a=-1时，M=∅，显然有M⊆N，
∴a=-1成立．
③当a＞-1时，
∵a+1＞0，
∴M={x|0＜x＜a+1}．
又M⊆N，
∴0＜a+1≤3，解得-1＜a≤2．
综上所述，a的取值范围是[-2，2]．

点评：本题考查了函数恒成立问题，训练了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．