Question

（1）函数f（x）=2sinπx与函数g（x）=

3	x-1

的图象所有交点的橫坐标之和为

 

．
（2）已知函数f（x）=10^x，对于实数m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,对数的运算性质,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）和g（x）的图象特点，利用数形结合得到结论．
（2）由f（x）=10^x得：f（m+n）=f（m）f（n），依题意，可求得f（m）f（n）=f（m）+f（n），令f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，则f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解，利用△=t²-4t≥0，可求得t的范围，进一步可求得f（p）=

t

t-1

=1+

1

t-1

（t≥4），利用该函数的单调性即可求得f（p）的最大值，继而可得p的最大值．

解答： 解：函数g（x）=

3	x-1

关于（1，0）对称，函数g（x）单调递增，
且函数f（x）=2sinπx也关于（1，0）对称，
由

3	x-1

=2，解得x-1=8，即x=9，
由

3	x-1

=-2，解得x-1=-8，即x=-7，
∴两个函数f（x）和g（x）共有17个交点，除（1，0）外，其他16个交点关于（1，0）对称，
设对称的两个点的横坐标分别为a，b，
则

a+b

2

=1，即a+b=2，
∴函数f（x）=2sinπx与函数g（x）=

3	x-1

的图象所有交点的橫坐标之和为：
8（a+b）+1=8×2+1=17．
故答案为：17．
（2）由f（x）=10^x得：f（m+n）=f（m）f（n），
∵f（m+n）=f（m）+f（n），
∴f（m）f（n）=f（m）+f（n），
设f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，
则f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解，
∵△=t²-4t≥0，
∴t≥4或t≤0（舍去）．
又f（m+n+p）=f（m）f（n）f（p）=f（m）+f（n）+f（p），
∴tf（p）=t+f（p），
∴f（p）=

t

t-1

=1+

1

t-1

（t≥4），
显然t越大，f（p）越小，
∴当t=4时，f（p）取最大值

4

3

，又f（p）=10^p，
∴f（p）取到最大值时，p也取到最大值，即p_max=lg

4

3

=2lg2-lg3．
故答案为：（1）17；（2）2lg2-lg3．

点评：本题主要考查函数图象的交点问题，根据函数f（x）和g（x）的图象的对称性，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的作图分析能力．综合性较强，难度较大．（2）本题考查抽象函数的性质，着重考查对数函数的性质，求得f（m）f（n）=f（m）+f（n）之后，设f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，构造方程，f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解是关键，也是难点，考查创新思维与综合分析与运算能力，属于难题．