Question

2．已知数列{a_n}，对于任意n∈N^*，都有a_n=n²-bn，是否存在一个整数m，使得当b＜m时，数列{a_n}为递增数列？这样的整数是否唯一？是否存在最大的整数？

Answer 1

分析 假设存在一个整数m，使得当b＜m时，数列{a_n}为递增数列，则${a}_{n+1}-{a}_{n}=[（n+1）^{2}-b（n+1）]-（{n}^{2}-bn）$=2n+1-b＞0，由此能求出结果．

解答 解：∵数列{a_n}，对于任意n∈N^*，都有a_n=n²-bn，
假设存在一个整数m，使得当b＜m时，数列{a_n}为递增数列，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}=[（n+1）^{2}-b（n+1）]-（{n}^{2}-bn）$=2n+1-b＞0，
∴存在一个整数m，使得当b＜m时，数列{a_n}为递增数列，
且m=2n+1，n∈N^*．
满足条件的整数m不是唯一的，但不存在最大值．

点评 本题考查满足条件的整数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．