Question

7．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），$\overrightarrow{OC}$=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．
（1）若$\overrightarrow{PA}$∥$\overrightarrow{PB}$，求$\overrightarrow{OP}$的坐标；
（2）当$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取最小值时，求cos∠APB的值．

Answer 1

分析 （1）点P是直线OC上的一个动点．可设$\overrightarrow{OP}$=（2x，x）．利用向量坐标运算、向量共线定理，即可得出．
（2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出．

解答 解：（1）∵点P是直线OC上的一个动点．
∴可设$\overrightarrow{OP}$=（2x，x），
$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}$=（1-2x，7-x），
$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$=（5-2x，1-x），
∵$\overrightarrow{PA}$∥$\overrightarrow{PB}$，
∴（1-2x）（1-x）-（7-x）（5-2x）=0，
解得x=$\frac{17}{8}$．
∴$\overrightarrow{OP}$=$（\frac{17}{4}，\frac{17}{8}）$．
（2）$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（1-2k）（5-2k）+（7-k）（1-k）=5{k^2}-20k+12=5{（k-2）^2}-8$，
∴k=2时，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取的最小值-8，此时$\overrightarrow{PA}=（-3，5），\overrightarrow{PB}=（1，-1）$，
∴$cos∠APB=\frac{-8}{{\sqrt{34}•\sqrt{2}}}=-\frac{{4\sqrt{17}}}{17}$．

点评 本题考查了向量坐标运算、向量共线定理，、数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．