Question

已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足4cosC+cos2C=4cosCcos²

C

2

．
（1）求∠C的大小；
（2）若|

CA

-

1

2

CB

|=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）利用二倍角公式对原等式化简可求得cosC的值，进而求得C．
（2）对原等式平方，利用向量的数量积的运算公式求得关于a和b的关系式，进而利用基本不等式求得ab的范围，进而求得三角形面积的最大值．

解答： 解：（1）∵4cosC+cos2C=4cosCcos²

C

2

，
∴cosC=

1

2

，
由C为三角形的内角，则C=

π

3

．
（2）∵|

CA

-

1

2

CB

|=2，
∴（|

CA

-

1

2

CB

|）²=4，
即

CA

²+

1

4

AB

²-

CA

•

CB

=4，
即b²+

1

4

a²-

1

2

ab=4，
∵b²+

1

4

a²≥ab，
∴4+

1

2

ab≥ab，
ab≤8，当且仅当b=

1

2

a时等号成立．
则△ABC的面积S=

1

2

absinC≤2

3

．
则三角形ABC的面积的最大值为2

3

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，平面向量的数量积的运算的应用．考查了学生计算能力和变通能力．