Question

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA：tanB：tanC=1：2：3．
（1）求角A；
（2）求

b

c

．

Answer 1

考点：正弦定理,同角三角函数基本关系的运用,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）设tanA=x，tanB=2x，tanC=3x，由tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-tanC，可得：

3x

1-2x2

=-3x，解得x=±1，若x=-1，不成立，故有tanA=1，即可解得A的值．
（2）由（1）可得：tanA=1，tanB=2，tanC=3，由1+tan²θ=

1

cos2θ

，可求得sinB，sinC，由正弦定理即可求

b

c

的值．

解答： 解：（1）设tanA=x，tanB=2x，tanC=3x，
由tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=tan（π-C）=-tanC，
可得：

3x

1-2x2

=-3x，解得：x=±1，
若x=-1，则A，B，C均为钝角，不成立，故三角均为锐角，
有tanA=1，可得A=

π

4

．
（2）由（1）可得：tanA=1，tanB=2，tanC=3，
由1+tan²θ=

1

cos2θ

，可得：sinB=

2 5

5

，sinC=

3 10

10

，
故：

b

c

=

sinB

sinC

=

2 2

3

．

点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，考查了正弦定理，两角和的正切公式的应用，属于基本知识的考查．