Question

已知数列{a_n}满足（n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n成等差数列，a₁=-1，b_n=（n+1）a_n-n+2，若log₂（-b_n）+3n≥k²-2k，对一切n∈N^*都成立，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：根据（n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n成等差数列可知（n+2）a_n+1=

1

2

（n+1）a_n+

n

2

，进而可证明数列{b_n}是等比数列，求出通项，即可得出结论．

解答： 解：由已知得（n+2）a_n+1=

1

2

（n+1）a_n+

n

2

，
∵b₁=2a₁-1+2=-1，b_n=（n+1）a_n-n+2，
∴

bn+1

bn

=

1

2

，
∴数列{b_n}是等比数列
∴b_n=-（

1

2

）^n-1，
∴log₂（-b_n）+3n≥k²-2k，对一切n∈N^*都成立，即1+2n≥k²-2k，对一切n∈N^*都成立，
∴k²-2k≤3，
∴-1≤k≤3．
故答案为：-1≤k≤3．

点评：本题主要考查了等比关系的确定，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．