Question

5．在平面直角坐标系中，已知${A_1}（-\sqrt{2}，0）$，${A_2}（\sqrt{2}，0）$，P（x，y），M（x，-2），N（x，1），若实数λ使得${λ^2}\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{{A_1}P}•\overrightarrow{{A_2}P}$（O为坐标原点），求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型．

Answer 1

分析 利用向量条件得到（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²），分类讨论得到P点的轨迹类型．

解答 解：由条件知$\overrightarrow{OM}=（x，1）$，$\overrightarrow{ON}=（x，-2）$，$\overrightarrow{{A_1}P}=（x+\sqrt{2}，y）$，$\overrightarrow{{A_2}P}=（x-\sqrt{2}，y）$，
∴${λ^2}\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{{A_1}P}•\overrightarrow{{A_2}P}$，λ²（x²-2）=（x²-2）+y²，
化简得（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²），
（1）当λ=±1时，方程为y=0，轨迹为一条直线；
（2）当λ=0时，方程为x²+y²=2，轨迹为圆；
（3）当λ∈（-1，0）∪（0，1）时，方程为$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{{2（1-{λ^2}）}}=1$，轨迹为椭圆；
（4）当λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，方程为$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{{2（{λ^2}-1）}}=1$，轨迹为双曲线．

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．