Question

2．已知：$\overrightarrow a=（2sinx，-\sqrt{3}cosx），\overrightarrow b=（cosx，2cosx），设f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$
（1）求f（x）的最小正周期和最大值．
（2）将f（x）的图象左移$\frac{π}{3}$个单位，并上移$\sqrt{3}$个单位得到g（x）的图象，求g（x）的解析式．
（3）设h（x）是g（x）的导函数，当0≤x≤$\frac{π}{2}$时，求h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和最大值，得出结论．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式．
（3）先求出g（x）的导数，再利用余弦函数的定义域和值域，求得h（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x=sin2x-2$\sqrt{3}$$•\frac{1+cos2x}{2}$
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，
故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，最大值为2-$\sqrt{3}$．
（2）将f（x）的图象左移$\frac{π}{3}$个单位，可得y=2sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$）]-$\sqrt{3}$=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$的图象，
再把所得图象上移$\sqrt{3}$个单位得到g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$） 的图象．
（3）设h（x）是g（x）的导函数，∴h（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$），
当0≤x≤$\frac{π}{2}$时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，cos（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，∴h（x）∈[-2，2]．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性和最大值，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．