Question

f（x）=cosxcos（x-θ）-

1

2

cosθ，0＜θ＜π，f（

π

3

）的值最大，则2f（

3x

2

）在x∈[0，

π

3

]上的最小值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：由三角函数公式可得f（x）=

1

2

cos（2x-θ），由最值结合θ范围可确定θ的值，从而求得f（x），求得2f（

3x

2

）的函数解析式，根据自变量的取值范围即可求出最小值．

解答： 解：由题意可得f（x）=cosxcos（x-θ）-

1

2

cosθ
=cos2xcosθ+sinxcosxsinθ-

1

2

cosθ
=

1+cos2x

2

cosθ+sinxcosxsinθ-

1

2

cosθ
=

1

2

cos（2x-θ）
又∵当x=

π

3

时f（x）取得最大值，
∴2×

π

3

-θ=2kπ，k∈Z，可得：θ=

2π

3

-2kπ，k∈Z，
又∵0＜θ＜π，
∴θ=

2π

3

…6分
∴f（x）=

1

2

cos（2x-

2π

3

），
∵x∈[0，

π

3

]，
∴2x-

2π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，
∴2f（

3x

2

）=cos（3x-

2π

3

）∈[-

1

2

，

3

2

]．
故答案为：-

1

2

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．