Question

已知f（x）=

3

sinxcosx+3sin²x-

3

2

（1）求f（x）的最小正周期及f（

π

12

）；
（2）求y=f（x）的单调增区间；
（3）当x∈[

π

3

，

5π

6

]时，求y=f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=

3

sin（2x-

π

3

），从而由周期公式可求f（x）的最小正周期，可求f（

π

12

）；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z即可解得所求的函数单调递增区间．
（3）由x∈[

π

3

，

5π

6

]，可得2x-

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，从而由正弦函数的性质可解得f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

2

sin2x+3×

1-cos2x

2

-

3

2

…（1分）
=

3

2

sin2x+

3

2

-

3

2

cos2x-

3

2

=

3

2

sin2x-

3

2

cos2x…（3分）
=

3

（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）
=

3

sin（2x-

π

3

），
∴由周期公式可得：T=

2π

2

=π．
∴f（

π

12

）=

3

sin（2×

π

12

-

π

3

）=-

3

2

．…（5分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z…（6分）
得kπ-

π

12

≤x≤

5π

12

+kπ，k∈Z…（8分）
∴所求的函数单调区间为[kπ-

π

12

，

5π

12

+kπ]，k∈Z…（9分）
（3）∵x∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴2x-

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]…（10分）
∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴

3

sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，

3

]，…（13分）
∴f（x）的值域为[-

3

2

，

3

]．…（14分）

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质的应用，属于基本知识的考查．